Расчет и оформление доверительных интервалов (погрешности Стьюдента)

Математическая модель обработки прямых многократных измерений

В физических, химических и инженерных лабораторных работах ни одно измерение не считается достоверным без количественной оценки погрешности (правила верстки выражений детально рассмотрены в руководстве по формулам в LaTeX). При серии из $n$ повторных опытов истинное значение случайной величины $X$ оценивается через выборочное среднее арифметическое:

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

Для оценки рассеяния рассчитывается несмещенное выборочное среднеквадратическое отклонение (СКО):

S_x = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}

Пошаговый алгоритм расчета СКО и границы доверительного интервала

Для определения случайной погрешности $\Delta x$ используется распределение Стьюдента (t-распределение):

\Delta x_{\text{сл}} = t_{P,f} \cdot S_{\bar{x}} = t_{P,f} \cdot \frac{S_x}{\sqrt{n}}

где $t_{P,f}$ — коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности $P$ (в учебных лабораториях обычно принимают $P = 0{,}95$) и числа степеней свободы $f = n - 1$.

Расчет погрешностей стьюдент таблица: коэффициенты Стьюдента

Для быстрого поиска значений в методичках приводится справочная сетка. Ниже приведен удобный фрагмент: расчет погрешностей стьюдент таблица для наиболее частых серий измерений ($n$ от 3 до 10) при вероятности $P = 0{,}95$:

n (число опытов) | f = n - 1 | Коэффициент t(P = 0,95; f)
-----------------|-----------|---------------------------
       3         |     2     |         4,30
       4         |     3     |         3,18
       5         |     4     |         2,78
       6         |     5     |         2,57
       7         |     6     |         2,45
       8         |     7     |         2,36
       9         |     8     |         2,31
       10        |     9     |         2,26
       беск.     |   беск.   |         1,96

Оформление доверительного интервала в отчете: правила округления по ГОСТ

Каноническое оформление доверительного интервала в отчете опирается на ГОСТ Р 8.736-2011 «Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений». Правило округления, которое приводят методички, взято из рекомендации МИ 1317 и учебной традиции:

1. Погрешность округляется первой: если первая значащая цифра погрешности равна 1 или 2, оставляют две значащие цифры (например, $\Delta x = 0{,}18$). Если 3 и более — оставляют только одну значащую цифру (например, $\Delta x = 0{,}4$).
2. Среднее значение округляется до того же разряда: последний знак в значении $\bar{x}$ должен строго совпадать с младшим разрядом погрешности.
3. Запись результата: $x = (14{,}32 \pm 0{,}18)\text{ мм},\; P = 0{,}95$.

Готовый код оформления расчета погрешностей в LaTeX

Итоговый результат измерения сопротивления резистора:
\begin{equation}
    R = (124{,}3 \pm 1{,}4)\,\text{Ом} \quad (P = 0{,}95,\; n = 5).
\end{equation}
Относительная погрешность эксперимента составила:
\begin{equation}
    \varepsilon = \frac{\Delta R}{\bar{R}} \cdot 100\% = \frac{1{,}4}{124{,}3} \cdot 100\% \approx 1{,}13\%.
\end{equation}

Для профессиональной типографики физических единиц и автоматического форматирования погрешностей также применяют пакет siunitx для LaTeX.

Кнопка «Просмотреть пример» открывает вычислительный сегмент с пятью измерениями и LaTeX-документ с подстановкой результатов. Редактор считает среднее, выборочное СКО и границы интервала. Коэффициент Стьюдента $t_{P,f} = 2{,}776$ выбран для $P = 0{,}95$ и $f = 4$ (в таблице выше то же значение округлено до 2,78); при другом размере выборки замените коэффициент и число n. Новый проект округляет результаты до трех значащих цифр. В настройках проекта есть режим округления по первой значащей цифре погрешности: он оставляет у погрешности одну значащую цифру, поэтому случай, когда погрешность начинается с 1 или 2, округлите по правилу выше вручную. Синтаксис подстановок описан в вики.

Практические советы