Оформление расчетов погрешностей косвенных измерений
Прямые и косвенные измерения: в чем разница
В лабораторном практикуме большинство физических величин невозможно измерить одним прибором напрямую. При прямом измерении значение считывается со шкалы прибора (длина линейкой, время секундомером, масса весами). При косвенном измерении искомая величина $y$ вычисляется по известной математической зависимости из нескольких напрямую измеренных аргументов: $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$.
Поскольку каждый аргумент $x_i$ содержит свою погрешность $\Delta x_i$, итоговая погрешность результата накапливается по строгому закону переноса ошибок. Эти значения затем наглядно иллюстрируются на графиках измерений с крестами погрешностей.
Формула полного дифференциала и метод частных производных
Если независимые случайные погрешности аргументов малы, абсолютная погрешность косвенного измерения рассчитывается через квадратичную сумму частных производных:
\Delta y = \sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} \Delta x_1 \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial x_2} \Delta x_2 \right)^2 + \dots + \left( \frac{\partial f}{\partial x_n} \Delta x_n \right)^2 }Если погрешности не являются случайными, а представляют собой предельные приборные погрешности, используют линейную сумму модулей производных: $\Delta y = \sum_{i=1}^n \left| \frac{\partial f}{\partial x_i} \right| \Delta x_i$.
Лайфхак логарифмирования для формул-произведений
Если расчетная формула состоит только из произведений, дробей и степеней (например, $y = \frac{a^2 \cdot b}{\sqrt{c}}$), расчет через производные громоздок. Гораздо проще сначала найти относительную погрешность $\varepsilon_y$ через натуральный логарифм:
- Прологарифмировать выражение: $\ln y = 2\ln a + \ln b - \frac{1}{2}\ln c$;
- Взять дифференциал и заменить знаки минуса на плюсы: $\varepsilon_y = \frac{\Delta y}{y} = \sqrt{ (2\varepsilon_a)^2 + \varepsilon_b^2 + \left(\frac{1}{2}\varepsilon_c\right)^2 }$;
- Найти абсолютную погрешность умножением: $\Delta y = y \cdot \varepsilon_y$.
Косвенные измерения погрешности: шаблон расчета плотности цилиндра
Рассмотрим эталонный образец, демонстрирующий косвенные измерения погрешности шаблон на примере вычисления плотности твердого тела:
Пример расчета:
Формула плотности цилиндра: $\rho = \frac{m}{V} = \frac{4m}{\pi d^2 h}$, где масса $m = (124.50 \pm 0.05)\text{ г}$, диаметр $d = (20.12 \pm 0.02)\text{ мм}$, высота $h = (50.34 \pm 0.05)\text{ мм}$.
1. Среднее значение плотности: $\rho = \frac{4 \cdot 0.1245}{3.1416 \cdot (0.02012)^2 \cdot 0.05034} = 7780.4\text{ кг/м}^3$.
2. Относительная погрешность:
$\varepsilon_\rho = \sqrt{\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 + \left(2\frac{\Delta d}{d}\right)^2 + \left(\frac{\Delta h}{h}\right)^2} = \sqrt{(0.0004)^2 + (0.0020)^2 + (0.0010)^2} \approx 0.00227$ ($0.23\%$).
3. Абсолютная погрешность: $\Delta \rho = \rho \cdot \varepsilon_\rho = 7780.4 \cdot 0.00227 = 17.66\text{ кг/м}^3$.
Итоговую расчетную запись переносят в соответствующий раздел в нашем шаблоне отчета по лабораторной работе.
Как оформлять расчет погрешностей в отчете: правила округления по ГОСТ
Изучая, как оформлять расчет погрешностей в отчете, соблюдайте золотое правило округления ГОСТ 8.207-76:
- Погрешность $\Delta y$ округляется до одной значащей цифры (если первая цифра от 3 до 9) или до двух значащих цифр (если первая цифра 1 или 2). В нашем примере: $\Delta \rho = 17.66 \approx 18\text{ кг/м}^3$;
- Сам результат округляется до того же десятичного разряда, что и погрешность: $\rho = (7780 \pm 18)\text{ кг/м}^3$;
- Обязательно приводится относительная погрешность в процентах: $\varepsilon = 0.23\%$.
Практические советы
Сначала вычисляйте формулу в общем виде
Преподаватели требуют сначала вывести символьную формулу погрешности через производные, и только затем подставлять численные значения измерений.
Оформление формул в Labkeeper
В Labkeeper вы можете быстро набрать многоэтажные формулы погрешностей через окружение align* с автоматическим выравниванием по знаку равенства.
